[已解决问题] 关于求极限的问题
当x趋近于0的时候,有很多的等价无穷小,但是不知道等价无穷小,什么时候可以代换,什么时候不能代换.我问过一个同学,他的回答是,无穷小在作乘除法的时候,可以被代换,在作加减法的时候不能.好像很多时候这个规律还是适用的,但是也有一些时候似乎不是很适用.而且如果真的有这条规律,也应该有相应的证明.
另外, 当x趋近于0的时候,,什么时候可以直接将sinx代换成0,cosx代换成1?
急,求高手帮忙.在线等,谢谢.
另外, 当x趋近于0的时候,,什么时候可以直接将sinx代换成0,cosx代换成1?
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最佳答案
两个无穷小量是等价,是指它们的商的极限是1.
设u(x)和v(x)是二个等价的无穷小量,则它们满足等式:
u(x) = v(x)+o(v(x))
也就是说,等价无穷小量不一定相等,而是相差了一个关于v(x)的高阶无穷小量.
在极限的四则运算中,可以用v(x)+o(v(x))代替u(x),没有任何限制.
但是注意,两个高阶无穷小量相减不一定为0,即o(v(x))-o(v(x))不一定等于0.
第二个问题,x趋近于0时,
sin(x)可以代换为x+o(x), 当x趋近于0时. 但是不能代换为0.
cos(x)在x趋近于0的时候,不是无穷小量,所以cos(x)没有等价无穷小量.
设u(x)和v(x)是二个等价的无穷小量,则它们满足等式:
u(x) = v(x)+o(v(x))
也就是说,等价无穷小量不一定相等,而是相差了一个关于v(x)的高阶无穷小量.
在极限的四则运算中,可以用v(x)+o(v(x))代替u(x),没有任何限制.
但是注意,两个高阶无穷小量相减不一定为0,即o(v(x))-o(v(x))不一定等于0.
第二个问题,x趋近于0时,
sin(x)可以代换为x+o(x), 当x趋近于0时. 但是不能代换为0.
cos(x)在x趋近于0的时候,不是无穷小量,所以cos(x)没有等价无穷小量.
2008-1-27 0:00:37
回答者：alanruan
其它回答(2)
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你同学说的是对的啊,上面2问也是对的饿啊 记不太清楚了，应该是在“需要代换的变量”是“代换后”的高阶的时候，可以代换 考研的话只要记住能够常用的代换就好了，其他的那些用不到的:-) |
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